缉古算经

一卷。唐王孝通(生卒年代不详)撰。据《旧唐书·律志》载，他在唐朝初年为算历博士，后升任太史丞。在武德六年(623)和武德九年(626)，他两次校订当时颁行的傅仁均戊寅元历。在《上缉古算经表》中，王孝通自谓：“臣长自闾阎，少小学算，镌磨愚钝，迄将皓首，钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，终成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣为太史丞。比年已来，奉敕校勘傅仁均历，凡驳正术错三十余道，即付太史施行。”其时当在626年之后，他已近暮年，由此可推知《缉古算经》成书应在626年之前。为解决当时土木工程中提出的数学计算问题，王孝通感到《九章》、《缀术》于理未尽，不合需要，故自立新术，是为《缉古》。传本《缉古算经》一卷共二十题，可分为四类：第一类天文问题，即第一题，已知日月合朔时刻及夜半时日所在赤道经度，求此时月在何处。王孝通运用《九章》均输章犬追兔题术解之，较旧法简捷。第二类是土方体积问题，有第二－六题和第八题共六问。此类题不仅有据实际情况求工程体积和长、宽、高尺寸，而且还有已知体积返求其长、宽、高尺寸。这类问题须用到三次方程，以开带从立方法解之，显然源于工程逐段验收。第三类是地窖和仓库容积问题，有第七题和第九－十四题共七问，据题设尺寸间的大小关系返求各边线尺寸，可归为三次方程解之。第四类由第十五一二十题六问组成，为勾股问题，其中前四题已知的两个数据，一个是勾股、勾弦或股弦的相乘积，另一个是勾弦或股弦的差。须用到三次方程解这些勾股形。后两题所给的数据，一是股弦乘积与勾，一是勾弦乘积与股，需要用四次方程解之，这两个四次方程为现在“双二次方程”，先开带从平方得一正根，再开平方得所求的勾或股。这四类问题中以第二类最为重要，其中又以求上宽下狭、前高后卑不规则形状的堤坝工程最为精彩，也是王孝通的得意之作。书中第三题十分复杂，答案须有二十五条之多，王孝通却给出了所有的正确答案，并特别给出了堤积计算公式，可求一般的有两个面平行的六面体的体积，这是前所未见的公式。全书二十个问题中，列出来的三次方程有二十八个，在每一条有关的术文之下，王孝通加以自注，说明方程系数的来历，据此可得知他列方程的程序：以常数项为实，一次项系数为方法，二次项系数为廉法，用“开立方除之”求解方程。据现有资料可以认为，王孝通的三次方程在中算史上是最早的，他的这一研究具有世界意义，领先于阿拉伯人和欧洲人的同类研究近五百年之多。值得指出的是，当时王孝通并未用到设未知数为x的代数方法，所列方程的系数和根限于正数，且只求一根。然而，这并不影响《缉古算经》成为中算史上的里程碑，在王孝通高次方程数值解法的基础上，中算家在金元时代建立了举世闻名的天元术和四元术。该书刊行后不久，即为唐初李淳风刊定为立于学官的《算经十书》之一，限三年习此书。后收入《四库全书》。传本《缉古算经》已残缺，前十六问较完整，后四问多有文字烂脱，四库馆员未能校补。清人为之作草补图者较多。清张敦仁于嘉庆八年(1803)撰《缉古算经细草》一卷，据最后三题残文，详加计算后补足了题目、答案和术文。嘉庆十七年(1812)李潢遗稿《缉古算经考注》二卷(有1832年广州刻本)，对全书文字详加校订，刊误补缺凡七百余字。揭廷锵有道光十一年(1831)《缉古算经图草》二卷刻本。陈杰撰《缉古算经细草》一卷、《图解》三卷、《音义》一卷，连同王孝通原著共为六卷，有道光三年(1823)刻本。骆腾凤《艺游录》卷一有“重订辑古算经仰观台求乙高术”一篇，校补了第二题王孝通自注中的讹文夺字。《辑古算经》宋代版本俱已散佚，常熟毛扆有一影宋抄本，成为《四库全书》底本，后又据此翻刻《天禄琳琅丛书本》、孔氏微波榭《算经十书》本、李调元《函海集》本、鲍廷博《知不足斋丛书》本和1963年中华书局钱宝琮校点《算经十书》本。